Интерфейс программы: русский

Платформа:XP / 7 / Vista

Производитель: Алексей Бешенов

Maxima – одно из самых мощных на сегодняшний день математических приложений, которое обладает множеством возможностей для вычислений довольно большого числа всевозможных функций. Само собой разумеется, что приложение является довольно специфичным продуктом, который вряд ли будет использовать обычный пользователь. Дело в том, что, прежде всего, программа рассчитана на научные и инженерные вычисления, хотя, может пригодиться и большому количеству студентов.

Основные возможности программы Maxima

Если говорить об основных возможностях этого уникального программного продукта, то сразу же стоит отметить то огромное количество функций, с которыми программа может работать. Сюда стоит отнести дифференцирование, интегральные функции, вычисление явных и неявных функций, работа с выражениями с плавающей запятой, распознавание систем линейных уравнений, преобразования Лапласа, разложение в ряд, вычисление матриц и тензоров, работа с системами уравнений, множествами, точными дробями, многочленами, векторами, построение графиков функций с использованием двумерного или трехмерного представления и многое другое. Наверное, на сегодняшний день нет такой области математических вычислений, которую бы не распознавала данная система.

Что касается интерфейса данного программного продукта, то он, не смотря на сложность самой программы, довольно прост. Основная панель имеет несколько типов меню, в которых, собственно и представлены все разделы математических вычислений. При использовании каждого из них, необходимо ввести изначальных задачу, а программа выдаст оптимальное решение в автоматическом режиме. Причем, в некоторых случаях возможно получить результат в виде подробнейшего доказательства со всеми расписанными процедурами и обоснованиями для принятия конечного результата.

Кроме того, любое решение можно с легкостью задать на печать или в некоторых случаях получить соответствующие графики. Надо сказать, что вся эта система не представляется какой-то обременительной, даже на кажущуюся сложность. Понятное дело, что такой мощный инструмент многим пользователям может придтись по вкусу. Наверняка, и инженерные работники, и научные умы, и студенты оценят ее огромные возможности, список поддерживаемых задач, а также, невообразимую скорость работы. Так что, если вам часто приходится сталкиваться с таким количеством математических вычислений, то лучшего программного продукта для такого типа задач вам просто не найти. В общем, приложение работает, что называется, на пять с плюсом.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЕЛЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. И. А. БУНИНА»

ЦЕНТР СВОБОДНОГО ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ

Т. Н. Губина, Е. В. Андропова

РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ В СИСТЕМЕ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ MAXIMA

Учебное пособие

УДК 519.62+519.63+004.94 ББК 32.973.26-018

Печатается по решению редакционно-издательского совета Елецкого государственного университета имени И.А. Бунина от 27. 05. 2009 г., протокол № 2

Рецензенты:

О.Н. Масина , кандидат физико-математических наук, доцент (Елецкий государственный университет им. И.А Бунина); А. В. Якушин , кандидат педагогических наук, доцент

(Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого)

Т. Н. Губина, Е. В. Андропова

Г 93 Решение дифференциальных уравнений в системе компьютерной математики Maxima: учебное пособие. – Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2009. – 99 с.

Учебное пособие может быть использовано в рамках дисциплин математический анализ, дифференциальные уравнения, пакеты прикладных программ и др. на разных специальностях в учреждениях высшего профессионального образования, если государственным образовательным стандартом предусмотрено изучение раздела «Дифференциальные уравнения», а также в рамках курсов по выбору. Оно также может быть полезным для знакомства с системами компьютерной математики в профильных классах общеобразовательных учреждений с углубленным изучением математики и информатики.

УДК 519.62+519.63+004.94 ББК 22.1+22.18 Р30

© Губина Т.Н., Андропова Е.В., 2009

© ЕГУ им. И.А. Бунина, 2009

Предисловие ..................................................................................................................
Глава 1. Основы работы в системе компьютерной математики Maxima
1.1. О системе Maxima...................................................................................................
1.2. Установка Maxima на персональный компьютер.................................................
1.3. Интерфейс основного окна Maxima......................................................................
1.4. Работа с ячейками в Maxima..................................................................................
1.5. Работа со справочной системой Maxima..............................................................
1.6. Функции и команды системы Maxima..................................................................
1.7. Управление процессом вычислений в Maxima....................................................
1.8. Простейшие преобразования выражений.............................................................
1.9. Решение алгебраических уравнений и их систем................................................
1.10. Графические возможности...................................................................................
Глава 2. Численные методы решения дифференциальных уравнений
2.1. Общие сведения о дифференциальных уравнениях............................................
2.2. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференци-
ального уравнения первого порядка............................................................................
2.2.1. Метод Эйлера.......................................................................................................
2.2.2. Метод Эйлера-Коши............................................................................................
2.2.3. Метод Рунге-Кутта 4 порядка точности............................................................
2.3. Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений
методом конечных разностей.......................................................................................
2.4. Метод сеток для решения дифференциальных уравнений в частных произ-
водных.............................................................................................................................
Глава 3. Нахождение решений дифференциальных уравнений в системе Maxima
3.1. Встроенные функции для нахождения решений дифференциальных уравне-
3.2. Решение дифференциальных уравнений и их систем в символьном
виде.................................................................................................................................
3.3. Построение траекторий и поля направлений дифференциальных уравне-
ний...................................................................................................................................
3.4. Реализация численных методов решения задачи Коши для обыкновенных
дифференциальных уравнений.....................................................................................
3.4.1. Метод Эйлера.......................................................................................................
3.4.2. Метод Эйлера-Коши............................................................................................
3.4.3. Метод Рунге-Кутта...............................................................................................
3.5. Реализация конечно-разностного метода решения краевой задачи для обык-
новенных дифференциальных уравнений...................................................................
3.6. Реализация метода сеток для дифференциальных уравнений в частных
производных...................................................................................................................
Задания для самостоятельного решения .................................................................
Литература ....................................................................................................................

Предисловие

Теория дифференциальных уравнений является одним из самых больших разделов современной математики. Одной из основных особенностей дифференциальных уравнений является непосредственная связь теории дифференциальных уравнений с приложениями. Изучая какие-либо физические явления, исследователь, прежде всего, создает его математическую идеализацию или математическую модель, записывает основные законы, управляющие этим явлением, в математической форме. Очень часто эти законы можно выразить в виде дифференциальных уравнений. Такими оказываются модели различных явлений механики сплошной среды, химических реакций, электрических и магнитных явлений и др. Исследуя полученные дифференциальные уравнения вместе с дополнительными условиями, которые, как правило, задаются в виде начальных и граничных условий, математик получает сведения о происходящем явлении, иногда может узнать его прошлое и будущее .

Для составления математической модели в виде дифференциальных уравнений нужно, как правило, знать только локальные связи и не нужна информация обо всем физическом явлении в целом. Математическая модель дает возможность изучать явление в целом, предсказать его развитие, делать качественные оценки измерений, происходящих в нем с течением времени. На основе анализа дифференциальных уравнений были открыты электромагнитные волны.

Можно сказать, что необходимость решать дифференциальные уравнения для нужд механики, то есть находить траектории движений, в свою очередь, явилась толчком для создания Ньютоном нового исчисления. Через обыкновенные дифференциальные уравнения шли приложения нового исчисления к задачам геометрии и механики.

Учитывая современной развитие компьютерной техники и интенсивное развитие нового направления - компьютерной математики - получили широкое распространение и спрос комплексы программ, называемые системами компьютерной математики.

Компьютерная математика - новое направление в науке и образовании, возникшее на стыке фундаментальной математики, информационных и компьютерных технологий.

Система компьютерной математики (СКМ) - это комплекс программ, который обеспечивает автоматизированную, технологически единую и замкнутую обработку задач математической направленности при задании условия на специально предусмотренном языке.

Современные системы компьютерной математики представляют собой программы с многооконным графическим интерфейсом, развитой системой помощи, что облегчает их освоение и использование.

Основными тенденциями развития СКМ являются рост математических возможностей, особенно в сфере аналитических и символьных вычислений, существенное расширение средств визуализации всех этапов вычислений, широкое применение 2D- и 3D-графики, интеграция различных систем друг с другом

и другими программными средствами, широкий доступ в Internet, организация совместной работы над образовательными и научными проектами в Internet, использование средств анимации и обработки изображений, средств мультимедиа

и др.

Существенным обстоятельством, которое до недавнего времени препятствовало широкому использованию СКМ в образовании, является дороговизна профессионального научного математического обеспечения. Однако в последнее время многие фирмы, разрабатывающие и распространяющие такие программы, представляют (через Internet - http://www.softline.ru) для свободного использования предыдущие версии своих программ, широко используют систему скидок для учебных заведений, бесплатно распространяют демонстрационные или пробные версии программ .

Кроме того, появляются бесплатные аналоги систем компьютерной математики, например, Maxima, Scilab, Octave и др.

В настоящем учебном пособии рассматриваются возможности системы компьютерной математики Maxima для нахождения решений дифференциальных уравнений.

Почему именно Maxima?

Во-первых, система Maxima - это некоммерческий проект с открытым кодом. Maxima относится к классу программных продуктов, которые распространяются на основе лицензии GNU GPL (General Public License).

Во-вторых, Maxima - программа для решения математических задач как в численном, так и в символьном виде. Спектр ее возможностей очень широк: действия по преобразованию выражений, работа с частями выражений, решение задач линейной алгебры, математического анализа, комбинаторики, теории чисел, тензорного анализа, статистических задач, построение графиков функций на плоскости и в пространстве в различных системах координат и т.д.

В-третьих, в настоящее время у системы Maxima есть мощный, эффективный и «дружественный» кроссплатформенный графический интерфейс, который называется WxMaxima (http://wxmaxima.sourceforge.net).

Авторами книги уже на протяжении десяти лет изучаются системы компьютерной математики такие как Mathematica, Maple, MathCad. Поэтому, зная возможности этих программных продуктов, в частности для нахождения решений дифференциальных уравнений, хотелось изучить вопрос, связанный с организацией вычислений в символьном виде в системах компьютерной математики, распространяемых свободно.

Настоящее пособие рассказывает о возможностях организации процесса поиска решений дифференциальных уравнений на базе системы Maxima, содержит в себе общие сведения по организации работы в системе.

Пособие состоит из 3 глав. Первая глава знакомит читателей с графическим интерфейсом wxMaxima системы Maxima, особенностями работы в ней, синтаксисом языка системы. Начинается рассмотрение системы с того, где можно найти дистрибутив системы и как его установить. Во второй главе рассматриваются общие вопросы теории дифференциальных уравнений, численные методы их решения. Третья глава посвящена встроенным функциям системы

компьютерной математики Maxima для нахождения решений обыкновенных дифференциальных уравнений 1 и 2 порядка в символьном виде. Также в третьей главе показана реализация в системе Maxima численных методов решения дифференциальных уравнений. В конце пособия приведены задания для самостоятельного решения.

Мы надеемся, что пособием заинтересуется широкий круг пользователей и оно станет их помощником в освоении нового инструмента для решения математических задач.

Т.Н. Губина, Е.В. Андропова Елец, июль 2009

Глава 1 ОСНОВЫ РАБОТЫ В СИСТЕМЕ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ MAXIMA

1.1. О системе Maxima

В рамках проекта создания искусственного интеллекта в 1967 году в Массачусетском технологическом институте была инициирована разработка первой системы компьютерной алгебры Macsyma. Программа в течение многих лет использовалась и развивалась в университетах Северной Америки, где появилось множество вариантов системы. Maxima является одним из таких вариантов, созданным профессором Вильямом Шелтером (William Schelter) в 1982 году. В 1998 году он получил официальное разрешение Министерства энергетики США на выпуск Maxima под лицензией GPL. А начиная с 2001 года Maxima развивается как свободный международный проект, базирующийся на SourceForge .

В настоящее время Maxima - это система компьютерной математики, которая предназначена для выполнения математических расчетов (как в символьном, так и в численном виде) таких как:

– упрощение выражений;

– графическая визуализация вычислений;

– решение уравнений и их систем;

– решение обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем;

– решение задач линейной алгебры;

– решение задач дифференциального и интегрального исчисления;

– решение задач теории чисел и комбинаторных уравнений и др.

В системе имеется большое количество встроенных команд и функций, а также возможность создавать новые функции пользователя. Система имеет свой собственный язык. Она также имеет встроенный язык программирования высокого уровня, что говорит о возможности решения новых задач и возможности создания отдельных модулей и подключения их к системе для решения определенного круга задач.

1.2. Установка Maxima на персональный компьютер

Свободно распространяемую версию дистрибутива Maxima, документацию на английском языке, типы и виды интерфейсов системы можно посмотреть и скачать с сайта программы http://maxima.sourceforge.net . На период написания пособия последняя версия дистрибутива - Maxima 5.18.1.

Сама по себе Maxima - консольная программа и все математические формулы «отрисовывает» обычными текстовыми символами.

Система является многоплатформенной, имеет небольшой размер дистрибутива (≈ 21,5 Мб), легко устанавливается, имеет несколько графических русифицированных интерфейсов: xMaxima, wxMaxima, TexMacs.

Наиболее дружественным, простым и удобным в работе графическим интерфейсом в настоящее время является интерфейс wxMaximа. Поэтому в дальнейшем будем использовать именно этот интерфейс.

Т.Н. Губина, Е.В. Андропова

Установка Maxima под управлением Windows

Полученный после скачивания файл, например maxima-5.18.1.exe (размер файла около 21,5 мегабайт), является исполняемым. Для начала установки программы достаточно нажать на него два раза левой кнопкой мыши. Сразу появится окно выбора локализации (выбираем русский язык).

В появившемся окне выбираем путь установки программы (можно оставить его без изменения).

Переходим к выбору устанавливаемых компонент. Из всего перечисленного для нас «лишними» являются Пакеты поддержки языков Maxima.

При установке желательно установить и графический интерфейс xMaxima, поскольку на нем базируется интерфейс wxMaxima и при решении некоторых задач он необходим, например, при выполнении графических построений.

В следующих окнах предлагается выбрать место размещения ярлыка для запуска программы (в меню «Пуск», на рабочий стол и т.д.). Завершающим этапом будет окно с предложением начать установку. По окончании установки выбираем «Далее» и «Завершить».

Таким образом, установка программы закончена.

Установка Maxima под управлением Linux

Maxima входит в состав многих дистрибутивов Linux, например, таких как AltLinux, Mandriva, Ubuntu, Fedora и др. В некоторых случаях может понадобиться доустановка с репозитория дистрибутива с помощью систем yum или synaptic.

Для установки в других дистрибутивах Linux необходимо использовать подходящий пакет системы Maxima, который можно скачать с сайта http://maxima.sourceforge.net.

Теперь можно приступать к работе с системой.

Учебное пособие ориентировано на работу с системой Maxima, установленную под управлением Linux. Заметим, что все рассматриваемые команды активны и в системе, установленной под управлением Windows.

Для начала познакомимся с интерфейсом основного окна программы.

1.3. Интерфейс основного окна Maxima

После запуска системы Maxima 5.18.1 с графическим интерфейсом wxMaximа появляется рабочее окно программы (Рис. 1).

Глава 1 Основы работы в системе компьютерной математики Maxima

Рис. 1. Вид рабочего окна системы Maxima

Структура окна, как видно из рисунка, имеет стандартный вид:

– строка заголовка, в которой располагается название программы и информация о том, сохранен ли рабочий документ (если документ сохранен, то прописывается его имя);

– панель меню программы – доступ к основным функциям и настройкам программы. В ней находятся функции для решения большого количества типовых математических задач, разделенные по группам: уравнения, алгебра, анализ, упростить, графики, численные вычисле-

ния. Заметим, что ввод команд через диалоговые окна упрощает работу с программой для начинающих пользователей;

– панель инструментов - на ней находятся кнопки для создания нового документа, быстрого сохранения документа, вызова окна справки, создания ячеек ввода, прерывания вычислений, кнопки для работы с буфером обмена и др.;

– рабочая область - непосредственно сам документ, в котором формируются ячейки ввода и выводятся результаты выполненных команд;

– полосы прокрутки;

– панель с кнопками - набор кнопок для быстрого вызова некоторых команд: упростить, решить уравнение или систему, построить график и др.;

– строка состояния.

Т.Н. Губина, Е.В. Андропова

В системе Maxima команда - это любая комбинация математических выражений и встроенных функций. Каждая команда завершается символом «;», причем в случае его отсутствия система сама добавит этот символ.

1.4. Работа с ячейками в Maxima

После того, как система загрузилась, можно приступать к вычислениям. Для этого следует добавить так называемую ячейку ввода, в которую вводится команда системе выполнить какое-либо действие.

Систему можно использовать в качестве мощного калькулятора для нахождения значений числовых выражений. Например, для того, чтобы найти значение произведения 120 и 1243, надо:

– на панели инструментов нажать кнопку Insert input cell (или нажать на клавиатуре клавишу Enter). В результате в рабочей области будет сформирована ячейка ввода (Рис.2).

Рис.2. Формирование новой ячейки ввода

Рис.3. Выполнение вычислений в системе Maxima

Таким образом, в документе были сформированы две строки: (%i1) - ячейка ввода и для нее (%о1) - ячейка вывода. Каждая ячейка имеет свою метку - заключенное в скобки имя ячейки. Ячейки, в которых размещаются входные данные (формулы, команды, выражения) называют ячейками ввода . Они обозначаются %iChislo, где Chislo - номер ячейки ввода (i - сокращенно от английского слова input - ввод). Ячейки, в которых размеща-

wxMaxima - это программа, которая представляет собой один из вариантов графического воплощения системы компьютерной алгебры Maxima. Эта система умеет работать с численными и символьными выражениями и при этом является совершенно бесплатной для использования, в том числе в коммерческих целях. Основная польза данного решения для рядовых пользователей заключается в том, что оно помогает в построении и решении математических формул и уравнений. Кроме того, wxMaxima выполняет ряд других полезных математических операций: интегрирование, дифференцирование, преобразование Лапласа, построение численных рядов и векторов, работу с матрицами и многое другое.

Программа превосходно "понимает" дроби, числа с плавающей точкой и содержит большой "арсенал" инструментов для проведения аналитических вычислений. Интерфейс wxMaxima максимально прост и русифицирован. Он состоит из рабочей области и панели с инструментами, которые можно использовать для построения выражений, графиков, списков, тензоров и том подобного. В комплекте с wxMaxima вы найдете все необходимую документацию и справочные материалы (частично переведенные), которые помогут разобраться с возможностями данного программного решения.

Ключевые особенности и функции

• представляет собой очень удобную графическую оболочку системы компьютерной алгебры Maxima;
• служит для построения и вычисления символьных и численных выражений;
• работает с матрицами, векторами, уравнениями, тензорами, графиками;
• производит операции дифференцирования, интегрирования, преобразования Лапласа, разложения в ряд и так далее;
• сопровождается подробной документацией.

Maxima - компьютерная система, позволяющая работать с символьными, численными выражениями. Поддерживает операции разложения в ряд, дифференцирования, преобразования Лапласа, интегрирования. Программе нестрашны обыкновенные дифференциальные уравнения, матрицы и тензоры, системы линейных уравнений, списки, векторы, многочлены, множества. Система компьютерных вычислений может производить расчёты с высокой степенью точности. Использует целые числа, дробные выражения. Приложение умеет строить графики в двухмерном либо трехмерном измерении. Имеет руководство, где подробно изложено, как работать с утилитой, какие операторы поддерживаются системой математических операций. Программа отлично подходит любителям компьютерной алгебры: студентам, преподавателям, аспирантам.

- Работает с математическими числовыми и символьными выражениями.
- Поддерживает работу со списками, многочленами, матрицами, тензорами, дифференциальными уравнениями и системами линейных уравнений.
- Поддерживает операции разложения в ряд, дифференцирования, преобразования Лапласа, интегрирования.
- Производит расчёты с высокой степенью точности.
- Использует целые числа, дробные выражения.
- Умеет строить графики в двухмерном либо трехмерном измерении.
- Подходит любителям компьютерной алгебры.
- Имеет доступную документацию для ознакомления с работой системы.
- Не влияет на производительность и скорость работы операционной среды.
- Есть поддержка русского языка.

Недостатки программы

- Отсутствует портативная (portable) версия.

- Процессор с тактовой частотой 1200 MHz или более мощный.
- Оперативная память 256 Мб или больше.
- Свободное место на жёстком диске от 185 Мб.
- Архитектура с разрядностью 32 бит или 64 бит (x86 или x64).
- Операционная система Windows XP, Windows Vista, Windows 7, Windows 8

Многофункциональные калькуляторы: Таблицы сравнения

Название программы	На русском	Дистрибутивы	Инсталлятор	Популярность	Размер	Индекс
				★ ★ ★ ★ ★	48.7 Мб	100
				★ ★ ★ ★ ★	59.8 Мб	99
				★ ★ ★ ★ ★	1.3 Мб	86

У нас можно бесплатно скачать новую версию математического приложения Maxima на русском языке для Windows ХР / Vista / 7 / 8 / 10 с сервера или официального сайта.

Описание программы Maxima:

Maxima - система компьютерной алгебры, предназначенная для работы с символьными и численными выражениями, включающая интегрирование, дифференцирование, разложение в ряд, преобразование Лапласа, системы линейных уравнений, обыкновенные дифференциальные уравнения, множества, многочлены, списки, векторы, матрицы и тензоры.

Так как программа производит довольно серьёзные вычисления из области инженерии и высшей математики, то обычному пользователю она вряд ли понадобится. А вот специалисты производящие научные и инженерные вычисления, а также многие студенты оценят ее огромные возможности, список поддерживаемых задач и отличную скорость работы.

Maxima – одно из самых мощных на сегодняшний день математических приложений, которое обладает множеством возможностей для вычислений довольно большого числа всевозможных функций. Кроме выше перечисленных функций программа производит численные расчеты высокой точности, используя точные дроби, целые числа и числа с плавающей точкой произвольной точности. Система позволяет строить графики функций и статистических данных в двух и трех измерениях.

Наверное, на сегодняшний день нет такой области математических вычислений, которую бы не распознавала данная система.

Интерфейс программы. несмотря на её сложность, довольно прост. Основная панель управления имеет несколько разделов меню, в которых и представлены все методы математических вычислений. Для начала работы с каждым из разделов, пользователю необходимо ввести изначальную задачу, а программа выдаст оптимальное решение в автоматическом режиме.

Причем, в некоторых случаях возможно получить результат в виде подробнейшего доказательства со всеми расписанными процедурами и обоснованиями для принятия конечного результата.

Maxima является потомком легендарной системы компьютерной алгебры Macsyma, разработанной в начале 60-х в MIT. Это единственная основанная на Macsyma система, все еще публично доступная и имеющая активное сообщество пользователей благодаря своей открытости. В своё время Macsyma произвела переворот в компьютерной алгебре и оказала влияние на многие другие системы, в числе которых Maple и Mathematica.

Название	Maxima
Версия	5.40.0
Язык	Русский есть
Система	Windows XP / Vista / 7 / 8 / 10
Разработчик